【本讲教育信息】

一. 教学内容：

    奇妙的分数

 

    同学们，我们已经学习了分数的知识。知道分数既可以表示实际的数量，又可以表示部分与整体的关系。带有单位名称的分数，表示实际数量，例如米。不带有单位名称的数，它表示部分与整体的关系，整体的数量可大可小，不是具体唯一的量。

    今天，我们就来研究一些分数的其它知识。

 

（一）阅读思考

  1. 判别下面各分数，哪些能化成有限小数，哪些不能化成有限小数。

   

    分析与解答：

    是最简分数，可以化成有限小数。

    是最简分数，不可以化成有限小数。

    不是最简分数，化简后是，不能化成有限小数。

    是最简分数，可以化成有限小数。

    不是最简分数，化简后是，可以化成有限小数。

  2. 能化成有限小数的分数，同学们已经很熟悉了，我们接着就来研究一下那些不能化成有限小数的分数吧，好吗？

    （1）把分数化成小数。

        

        

    总结：一个最简分数的分母里，如果只含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循小数，这个纯循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、……各数中能被分母整除的最小那个数里9的个数。

    （2）把分数化成小数。

        

        

   

    总结：一个最简分数的分母里，如果既含有2、5这样的质因数，又含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，等于分母中2、5中较多的一个数的个数；循环节的最少位数等于9、99、999、……各数中能被分母2、5以外的质因数（或质因数乘积）整除的最小那个数里9的个数。

  3. 将和化成分数。

    解答：（1）因为①

    所以②

    把①和②的两边分别相减：

   

    化简得 

    所以 

    总结：一个纯循环小数的小数部分可以化成一个分数（这个分数的分子是这个纯循环小数一个循环节的数字所组成的数，分母是由与一个循环节数字个数相同的若干个9组成的数）。

    （2）因为

    ①

    ②

    把①和②两边分别相减，得

   

    所以 

   

    总结：从这个例子可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成一个分数（这个分数的分子是不循环部分和第一个循环节所有数字组成的数减去不循环部分所有数字组成的数的差；分母的头几位数字都是9，9后面的数字都是0，9的个数和一个循环节中数字的个数相同，0的个数等于不循环部分数字的个数。）

 

（二）尝试体验

  1. 指出下面的分数：

   

    能化成有限小数的：（                 ）

    能化成纯循环小数的：（                  ）

    能化成混循环小数的：（                ）

    并说一说不循环部分数字的个数、循环节最少位数是几？

 

  2. 把下面各循环小数化成分数：

                 

 

  3. 把“<”把下列各分数连接起来：

   

 

  4. 比较与的大小。

 

参考答案：

1. 指出下面的分数：

   

    能化成有限小数的：（）

    能化成纯循环小数的：（）

    循环节最少位数是6位

    循环节最少位数是3位

    能化成混循环小数的是：（）

    并说一说不循环部分数字的个数、循环节最少位数是几？

    不循环部分是2位，循环节最少位数是1位

    不循环部分是1位，循环节最少6位

    不循环部分是1位，循环节最少4位

 

 

  2. 把下面各循环小数化成分数：

                

               

        

 

  3. 把“<”把下列各分数连接起来：

   

   

 

 4. 比较与的大小。

    <

 

【模拟试题】

1、如果，求A÷B的商是多少？

2、在2和6之间，分母是3的最简分数有几个？

3、一个真分数，分子、分母是两个连续自然数，如果分母加3，这个分数是，原分数是____________。

4、用“＞”连接下面各组分数：

  （1）

  （2）

5、计算

 

 

【试题答案】

1、思路剖析：

先找出A和B各是多少，由于1997是个质数，故约数只有1和1997，则有

可以得到或

解答：

因为

所以或

或

答：A÷B的商是1997或。

2、思路剖析：

  分母是3，分数值在2和6之间的分数就是指大于而小于的分数，即共17－7＋1＝11（个）。由于是最简分数，所以分子是3的倍数的分数，如这三个应该排除，这样符合条件的最简分数有11－3＝8（个）。

  解答：

  按上述分析共有17－7＋1＝11（个）分数，11－3＝8（个）。

答：在2和6之间，分母是3的最简分数有8个。

3、思路剖析：

  由真分数、分子、分母连续自然数，可知分子比分母小1，分母加3后分母比分子大4，而且也告诉了加3后的分数，依据这两个条件来求原分数。

  解答：

  可设任两个连续自然数为n和，则原分数为，分母加3后，分数为，依题意，得

  

 

  n＝16

  故原分数为

4、思路剖析：

  （1）中的三个分数采取通分母的方法进行比较，20、15、12的最小公倍数是60。。

  （2）中的四个分数，由于分母通分比较繁，而分子数字相对简单，所以采取通分子的方法进行比较，8、12、15、20的最小公倍数是120，。

  解答：

  （1）20、15、12的最小公倍数是60

 

  因为

  所以

  （2）8、12、15、20的最小公倍数是120

 

  因为

  所以

5、思路剖析：

  本题如果利用通分计算，将非常繁琐。我们观察下面的几个算式：

 

  进一步地，我们得到：

 

  这样，利用“将一个分数拆分成两个分数之差”的方法，我们得到本例的一种巧妙算法。

  解答：

  原式

 

  点津：

  本例实质上是与通分思路相反的，它将两个分数的差通分后倒过来使用，即将两个分数乘积的形式转化为两个分数差的形式，从而使整个运算简化。