【本讲教育信息】
一. 教学内容：
最小公倍数（二）
【典型例题】
（一）阅读思考
1. 性质：
两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的一个重要性质是：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
若a，b表示两个自然数，则：
为什么呢？
例如自然数132和140，它们分别分解质因数为：
即：132×140＝22×22×3×11×5×7
而（132，140）＝22
［132，140］＝22×3×11×5×7
（132，140）×［132，140］＝22×22×3×11×5×7，它们的质因数与132×140的质因数完全相同。
所以说：132×140＝（132，140）×［132，140］
2. 例题：
例1. 求42和64的最小公倍数。
分析与解答：
我们用口算可以知道（42，64）＝2，于是我们可以利用：a×b＝（a，b）×［a，b］的关系即：
求出42和64的最小公倍数。
例2. 两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126，这两个数的和是________。
分析与解答：
这两个数的最大公约数是21，分解质因数为21＝3×7。
这两个数的最小公倍数是126，分解质因数为126＝3×7×2×3，可以看出这两个数公有质因数是3×7，独有质因数是2×3。
从而判断这两个数有两种情况：
第一种情况：这两个数为倍数关系，即其中一个数是21，另一个数是它的6倍，为126，这时这两个数的和是21＋126＝147。
第二种情况：这两个数中其中一个数的独有质因数是2，另一个数独有质因数是3，则这两个数分别为3×7×2＝42和3×7×3＝63，这两个数的和是42＋63＝105。
答：这两个数的和可以是147或105。
另一种解法：
由于两个数的最小公倍数中包含有这两个数全部公有质因数（即：最大公约数）和独有质因数，所以用最小公倍数除以它的最大公约数所得的商就是全部独有质因数的积。把它分解质因数就得到这两个独有的质因数，即：126÷21＝6，6＝2×3。
从而也得到两种情况：
（1）2和3是一个数独有的质因数，这时两个数分别是21×1＝21，21×2×3＝126，它们的和是21＋126＝147。其实就是这两个数为倍数关系时，较小数就是它们的最大公约数，较大数就是它们的最小公倍数。
（2）2和3分别是两个数的独有质因数，这时两个数分别是21×2＝42和21×3＝63，这时它们的和就是42＋63＝105。
例3. 有一个两位数被9除余7，被7除余5，被3除余1，求这个两位数。
分析与解答：
观察题目可以发现，每次除完的余数都比除数少2，也就是说，所求的数如果加上2以后，则将能被9、7、3同时整除，或者说所求的数加上2以后，分别都是9、7、3的倍数，而且还是个两位数，所以我们可以先求9、7、3的最小公倍数。
［9，7，3］＝63
63－2＝61
答：这个数是61。
（二）尝试体验
1. 两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？
2. 一个三位数被11除余10，被6除余4，被4除余2，这个三位数最小是多少？
3. 一个自然数，被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个数最小是多少？
4. 四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？
5. 已知两个三位数的积是34596，它们的最小公倍数是1116，这两个自然数分别是多少？
6. 一次会餐共有3种饮料。餐后统计，3种饮料共用了65瓶，平均每两人饮用一瓶A饮料，每三人饮用一瓶B饮料，每四个人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人？
参考答案：
（二）尝试体验
1. 两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？
72
2. 一个三位数被11除余10，被6除余4，被4除余2，这个三位数最小是多少？
142
3. 一个自然数，被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个数最小是多少？
59
4. 四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？
15
5. 已知两个三位数的积是34596，它们的最小公倍数是1116，这两个自然数分别是多少？
279和124
6. 一次会餐共有3种饮料。餐后统计，3种饮料共用了65瓶，平均每两人饮用一瓶A饮料，每三人饮用一瓶B饮料，每四个人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人？
60人
【模拟试题】
1、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲、乙两数相差18，求这两个数。
2、两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C＋D＝187，那么A＋B等于多少？
3、甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。甲校用的汽车，每车坐15人；乙校用的汽车，每车坐13人，结果甲校比乙校少派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛？
4、大雪后的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小飞每步长48厘米，爷爷每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40个脚印，求花圃的周长？
5、加工某种零件要三道工序，第一道工序，每人每小时可完成48个；第二道工序，每人每小时可完成32个；第三道工序，每人每小时可完成28个。三道工序至少各要多少工人？如何搭配才最合适？
6、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？
【试题答案】
1、72与54
解：假设甲
，乙
，并设
。其中d为甲、乙的最大公约数，且a，b互质，则甲、乙的最小公倍数
。据题意，
，由
知
或
，但只有能使
整除18，故d＝18，于是甲
，乙
。
2、解：本题是已知两个数的最大公约数与最小公倍数的和，求这两个数的问题，这类问题可能不止一解。求时注意利用最大公约数与最小公倍数的性质。
因A、B的最大公约数是C，故A、B都是C的倍数，设A＝Ca，B＝Cb（a、b都是整数），且（a，6）＝1。
于是A、B的最小公倍数D＝Cab，
∴C＋Cab＝187，即C（ab＋1）＝187＝11×17。
由于C≠1，故C＝11或C＝17。
如果C＝11，即A、B的最大公约数为11，则ab＋1＝17。
∴ab＝16，但（a，b）＝1，故a＝1，b＝16（或 a＝16，b＝1），此时，A＝11，B＝176，但这不符合C≠A或B这个条件。
同样，a＝16，b＝1也不满足题意。
∴C＝17，ab＝10，此时若a＝1，b＝10（或a＝10，b＝1），这仍不满足条件C≠A或B，于是只有a＝2，b＝5（或a＝5，B＝2）。
此时A＝34，B＝85。
∴A＋B＝34＋85＝119。
答：A＋B＝119。
两数A、B的最大公约数为C，最小公倍数为D，则必有A×B＝C×D。
3、解：原来甲校比乙校少派一辆汽车，各增加一人以后，两校需要的汽车就一样多了，这说明甲校在没有增加这一人以前恰好坐满了所派的全部汽车（增加的一辆汽车就坐增加的这一人），所以甲校原来参加竞赛的人数是15的倍数。
后来又各增加一个人，乙校又要多派一辆汽车，这说明在第二次增加人数之前，乙校所派的车恰好坐满，也就是说，乙校这时的人数是13的倍数，即一个15的倍数加1以后是13的倍数。
由此可知，甲乙两校各增加一人后，派车的辆数相等，但甲校有一辆车只坐一个人，而乙校每车13人恰好坐满原来所派的车。可以设想，甲校原来所派的车每车下来两个人坐到增加的这辆车上去，就会正好跟乙校的情况一样了，即刚好坐满增加的这辆车。因此，原来甲校的车辆数是：
（13－1）÷（15－13）＝6（辆），原来每校参赛人数是15×6＝90（人）。
答：最后甲乙两校共有184人参加竞赛。
4、解：要想求出花圃的周长，只要求出小飞和爷爷一圈留下多少个脚印就行了。由于小飞和爷爷测时起点和方向完全相同，且两人脚印有重合，这说明，他俩从起点出发到第一次脚印重合时所走过的路程是相同的，这个路程是小飞和爷爷步长的倍数。即：［72，48］＝144厘米，从起点到第一次脚印重合时，小飞的脚印有144÷48＝3（个），爷爷的脚印有144÷72＝2（个），因为他们有一个脚印是重合的，所以在144厘米长的这段路程内共有脚印：2＋3－1＝4（个），又因为40÷4＝10
所以花圃的周长为144×10＝1440（厘米）
答：花圃的周长为1440厘米。
5、解：所谓搭配合适，是指各道工序在同一时间内所加工的零件数是相同的。
加工零件数，即［48，32，28］＝672
第一道工序要工人14名，第二道工序要工人21名，第三道工序要工人24名。
6、解：亮灯时间间隔9分钟，响铃时间间隔1小时即60分，所以本题就是求9与60的最小公倍数的问题。
。
答：下一次既响铃又亮灯是下午3点。