【本讲教育信息】
一. 教学内容：
总复习（二）——因数和倍数
知识整理：
比较异同：
1. 整除和除尽
整除：被除数、除数和商都是整数，而且没有余数。
除尽：是相对于除不尽而言，只要能除开就是除尽。
整除一定能除尽，而除尽不一定能整除。
2. 质数和互质数
质数是相对于一个数而言，若一个数只有1和它本身两个约数，这个数为质数，互质数是相对于两个数而言，公约数只有1的两个数叫做互质数。
【典型例题】
例1. 判断下面说法是否正确，并说明理由：
（1）因为4.5÷0.5=9，所以说4.5能被0.5整除。（ ）
（2）含有因数2的数一定是偶数。（ ）
（3）所有自然数不是质数就是合数。（ ）
（4）所有自然数不是偶数就是奇数。（ ）
（5）一个数的因数都比这个数的倍数小。（ ）
（6）任何两个自然数的公约数都有1。（ ）
（7）所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。（ ）
（8）有公约数1的两个数叫做互质数。（ ）
思路指导：
（1）错。因为整除要求被除数、除数和商都是整数。
（2）对。有因数2说明它是2的倍数或说它能被2整除。
（3）错。1既不是质数也不是合数。
（4）对。根据能否被2整除，自然数只分成两类，自然数
。
（5）错。一个数的因数可能等于这个数的倍数。
（6）对。因为1是任何自然数的因数，所以任意两个自然数的公因数都有1。
（7）错。奇数不一定是质数（如15），偶数不一定是合数（如2）。
（8）错。只有公因数1的两个数叫做互质数。
例2. 按要求写出两个互质的数
（1）两个数都是质数
（2）两个数都是合数
（3）一个数是质数，一个数是合数
（4）一个奇数，一个偶数
思路指导：
（1）任意两个不同的质数一定互质，如3和11，2和7。
（2）两个合数分解质因数，不能有相同的质因数，如8和15。
（3）只要质数与合数不是约倍关系，就一定互质，如5和16。
（4）并非奇数与偶数一定互质，所以在举出例子后，要注意检验，看是否符合题目要求，如3和8，1和12。
提示：解这类问题要注意认真审题，做好审题标记，而且还要及时检验，发现错误及时调整。
例3. （1）写出30的所有因数，指出其中哪些是30的质因数。
（2）写出24和30的所有公因数。
（3）写出50以内的3和4的所有的公倍数。
（4）把1到20中的偶数、奇数、质数、合数分别写出来。
思路指导：
（1）一个数的因数是有限的，最小的因数是1，最大的是它本身。
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30
30的质因数有：2、3、5
（2）24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30
24和30的公因数有：1、2、3、6
（3）50以内3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48
50以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48
50以内3和4的公倍数有：12、24、36、48
（4）1~20中偶数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20
奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19
质数有：2、3、5、7、11、13、17、19
合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20
例4. 一个长方形铁板，长364cm，宽208cm，把它切割成同样大小的正方形铁片，不许有剩余，最少可以切割成多少块？
思路指导：假设正方形铁片的边长为a cm，因为不许有剩余，所以364必须是a的倍数，即a是364的因数。同理，a也一定是208的因数，所以a是364和208的公因数。
要问最少切几块，要保证块数最小，每块就应尽可能大，所以a为364和208的最大公因数。
答：最少可以切割成28块。
例5. 某旅社有甲、乙、丙三位客人，星期二晚同住在同一客房，已知甲3天来住一次，乙4天来住一次，丙5天来住一次。问下次再同住一客房要过多少天？这天是星期几？
思路指导：
甲3天来住一次，到下次同住一客房的天数一定是3的倍数，同理，乙到下次同住一客房的天数一定是4的倍数，丙到下一次同住一客房的天数一定是5的倍数，所以，到下一次同住一客房的天数一定是3、4、5的最小公倍数。
［3，4，5］=60
60÷7=8……4
4＋2=6
答：下一次同住一客房要过60天，这天是星期六。
【模拟试题】
一. 填空：
1. 18、30、45、70、75、84、124、100、420中有约数2的有（ ），3的倍数有（ ），同时能被2、3整除的数有（ ），同时能被2、5整除的数有（ ），能同时被2、3、5整除的数有（ ）。
2. 最小的奇数是（ ），最大的一位合数是（ ）。
3. 12的约数中，质数有（ ）。
4. 用10以内的质数组成一个最小的真分数是（
）。
5. 一个正方形的面积是324cm2，这个正方形的边长是（ ）cm。
二. 判断：
1. 最小的偶数是2。（ ）
2. 4和奇数一定互质。（ ）
3. 正方体棱长是质数，它的体积一定是合数。（
）
4. 3是18的因数，也是18的质因数。（ ）
三. 求下面每组数的最大公约数（三个数的除外）和最小公倍数：
36和48 45和9 7和12
3、6和7 15、30和90 16、32和24
四. 解决问题：
1. 一盒铅笔，可以平均分给2、3、4、5、6个小朋友，且没有剩余。这盒铅笔最少有多少支？
2. 把24个本、36本书平均分给尽可能多的小朋友，但每个小朋友得到的两种物品的数量必须分别相等（且无剩余），求最多分给几个小朋友？
【试题答案】
一. 填空：
1. 18、30、45、70、75、84、124、100、420中有约数2的有（18、30、70、84、124、100、420），3的倍数有（18、30、45、75、84、420），同时能被2、3整除的数有（18、30、84、420），同时能被2、5整除的数有（30、70、100、420），能同时被2、3、5整除的数有（30、420）。
2. 最小的奇数是（1），最大的一位合数是（9）。
3. 12的约数中，质数有（2、3）。
4. 用10以内的质数组成一个最小的真分数是（
）。
5. 一个正方形的面积是324cm2，这个正方形的边长是（18）cm。
二. 判断：
1. 最小的偶数是2。（×）
2. 4和奇数一定互质。（√）
3. 正方体棱长是质数，它的体积一定是合数。（√）
4. 3是18的因数，也是18的质因数。（√）
三. 求下面每组数的最大公约数（三个数的除外）和最小公倍数：
36和48 45和9 7和12
3、6和7 15、30和90 16、32和24
（36，48）＝12 ［36，48］＝144
（45，9）＝9 ［45，9］＝45
（7，12）＝1 ［7，12］＝84
（3，6，7）＝1 ［3，6，7］＝42
（15，30，90）＝15 ［15，30，90］＝90
（16，32，24）＝8 ［16，32，24］＝96
四. 解决问题：
1. 一盒铅笔，可以平均分给2、3、4、5、6个小朋友，且没有剩余。这盒铅笔最少有多少支？
［2，3，4，5，6］=60
答：这盒铅笔最少有60支。
2. 把24个本、36本书平均分给尽可能多的小朋友，但每个小朋友得到的两种物品的数量必须分别相等（且无剩余），求最多分给几个小朋友？
（24，36）=12
答：最多分给12个小朋友。