【本讲教育信息】

一. 教学内容：

暑假专题——平面图形的比较

 

［学习过程］

一. 阅读思考，学会方法。

  例1. 在下图中，A、B分别为所在边的中点，阴影部分的上、下两个三角形，哪个面积大？为什么？

    分析：观察发现①、②两个三角形均以公共边为底，高相等，所以它们的面积相等。三角形的形状虽然不同，但它们是等底等高时，面积仍然相等。

 

  例2. 在两块草地中间有一条弯曲的小路，（见图），A、A'处各种一棵树。现要将小路修整为直路。而A、A'两处种的树不能动，两块草地的面积也要保持不变，应当怎样修整？

    分析：怎样去思考题呢？我们用移动法，将小路的转弯处及小路的终点处分别设为C、C'和B、B'，再连接AB和A'B'，并经过C、C'分别作AB与A'B'的平行线。连接AD和AD'，新修小路在AD与A'D'之间。

    因为三角形ACB（或A'C'B'）的面积与三角形ADB（或A'D'B'）的面积相等，（利用平行线之间的距离相等，这是两个等底等高的三角形，这样移动后，两块草地的面积保持不变。）

 

  例3. 下面各题中两个图形（或两个阴影部分）的面积有什么关系？并说明理由。

   

    分析：（1）我们将图②割拼一下，形成与图①相同的图形，所以。

    （2）①是由8个小正方形组成的，②由9个小正方形组成的，所以。

    （3）等底等高的两个平行四边形面积相等，它们都减去同一个三角形面积，因此所得的阴影部分的面积是相等的，。

    （4）长方形中被对角线所分成的两个三角形的面积相等。

    S_①＝大△形－中△－小△的面积

    S_②＝大△形－中△－小△的面积

    “等量－等量”所得的差相等，所以S_①＝S_②

 

  例4. 已知三角形DEF（斜线部分）面积是6平方厘米，求三角形EFC（格子部分）的面积？

    分析：如果连接AC，三角形ACE的面积与三角形DCE面积相等（它们是等底等高的三角形），三角形ACF与三角形DEF的面积相等，则三角形ACF的面积也是6平方厘米，因为高是10厘米，可求底FC的长度是：（厘米），厘米。三角形DEF的面积是6平方厘米，底是DF是4.8厘米，高是CE是（厘米）。

    因为三角形EFC的面积是平方厘米。

 

二. 立体几何的比较

  例1. 有空的长方体容器A和水深为24厘米的长方体容器B，将容器B的水倒一部分到A，使两容器中的水相等。这时容器A中的水深为几厘米？

    分析：要使两容器中的水相等，即使水平均分成两份，两容器中水的体积相等，因此，A容器中的水的体积是：（立方厘米）

    A容器中水深为：厘米

    答：A容器中的水深为6厘米。

 

  例5. 比较下面各长方体的体积和表面积。（每块小立方体的体积为1立方厘米）

    分析：分别先求它们的体积和表面积。

    （1）体积＝2×2×2＝8（立方厘米）

        表面积＝2×2×6＝24（平方厘米）

    （2）体积＝4×2×1＝8（立方厘米）

        表面积＝（4×2＋4×1＋2×1）×2＝28（平方厘米）

    （3）体积＝8×1×1＝8（立方厘米）

        表面积＝（8×1＋8×1＋1×1）×2＝34（平方厘米）

    通过比较可知，不同的拼法，它们的体积不变，但由于重叠面的数量不同，表面积就发生了变化，表面积是怎样变化的？请同学们先观察下面图中物体的表面积。（每小正方体的边长为1厘米）

    两个小正方体表面积之积是：1×6×2＝12平方厘米。

    当把两个小正方体拼成一个长方体后，表面积为1×2×4＋1×1×2＝10（平方厘米），因为有两个面重叠了，所以面积减少了2平方厘米，所以说重叠的面越多，面积就越小。

 

  例6. 一个正方体木块，表面积是16平方分米。如果把它截成体积相等的8个正方体小木块，每个小木块的表面积是多少？

    分析：通过分析可知，截成体积相等的8个正方体小木块，表面积正好增加了1倍，（原表面积的1倍）因为切一刀出2个面共切3刀＝6个面，正方体有6个面，所以每个小正方体的表面积是：

    （平方分米）

 

三. 认真思考，独立完成。（答题时间：20分钟）

  1. 在一只长100厘米，宽60厘米，深70厘米的盆中放入热水，将要洗的碗放到盆中，水正好浸没要洗的碗，并已知水上升了10厘米，求要洗的碗的总的体积是多少？

  2. 将一根高8分米的长方体木料，沿与底面平行的方向锯成两段，这两根木料总的表面积比原来多了1平方分米。原来这根木料的体积是多少？

  3. AP的长度是BP的两倍，BD与AC平行，那么三角形ACD的面积是三角形BCD的几倍？

【试题答案】

三. 认真思考，独立完成。

  1. 在一只长100厘米，宽60厘米，深70厘米的盆中放入热水，将要洗的碗放到盆中，水正好浸没要洗的碗，并已知水上升了10厘米，求要洗的碗的总的体积是多少？

    全部要洗的碗的体积相当于水上升的体积为：

    60立方分米＝60000立方厘米

  2. 将一根高8分米的长方体木料，沿与底面平行的方向锯成两段，这两根木料总的表面积比原来多了1平方分米。原来这根木料的体积是多少？

    锯成两段，增加的表面积相当于原长方体两个底面面积，原长方体体积为：

    （立方分米）

  3. AP的长度是BP的两倍，BD与AC平行，那么三角形ACD的面积是三角形BCD的几倍？

    等底等高的三角形面积相等：

    在中AB＝BP，

    因此，

    同理：

    在中，

   

    因此，三角形ACD的面积是三角形BCD的2倍。