【本讲教育信息】
一. 教学内容：
暑假专题——乘法原理和加法原理
二. 学习的重点、难点：
理解乘法原理和加法原理，能正确解决实际问题。
［知识简单介绍］
在生活、学习中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时又有很多种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就要用乘法原理解决。
在做一件事时，有几类不同的方法，每一类方法中又有几种可能的做法。那么做这件事所有可能的做法就需要用加法原理解决。
［学习过程］
一、乘法原理。
1、例题：暑假中小丽和妈妈一起出去旅游，她们的旅游路线是北京——杭州——上海。其中她们从北京到杭州可以乘飞机、坐火车；从杭州到上海可以乘飞机、坐火车或轮船。那么她们从北京经过杭州到上海共有多少种不同的走法？
分析：
小丽和妈妈从北京到上海要分两步走。第一步是从北京到杭州，可以有两种走法：乘飞机或坐火车；第二步从杭州到上海有3种走法。从上图可以看出，第一步的每一种走法中第二步都有3种走法，所以共有2×3＝6种。
2、练习：小明去食堂买饭，有3样主食，5样菜。小明要买一份主食一份菜，共有多少种不同的买法？
分析：买饭分两步，第一步选主食（或先买菜），有3种不同的选法，第二步买菜，有5种不同的选法。每一种主食可以有5种不同的菜进行搭配。
3×5＝15（种）
答：共有15种不同的买法。
3、乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有m1×m2×…×mn中不同的方法。
注意：（1）这件事要分几个独立步骤来完成；
（2）每个步骤各有若干种不同的方法来完成。
4、解决问题。
（1）甲、乙、丙、丁四名同学参加比赛，他们每人都报名参加了60米、100米、200米跑中的一项。报名结果会有多少种不同的情况？
分析：他们四人报名时相互之间没有影响。完成这件事可以看成四步：第一步甲报名，有3种不同的报法；第二步乙报，也有3种不同的报法；同理，丙和丁也分别有3种不同的报法。
3×3×3×3＝81（种）
答：报名结果会有81种不同的情况。
（2）有四张卡片，上面分别写着1、4、7、8，
① 用这四张卡片可以组成多少个不同的三位数？
② 用这四张卡片可以组成多少个不同的三位偶数？
分析：① 完成这件事需要三步。第一步先定百位数，有4种不同的选法；再定十位数，因为百位上已选走了一张卡片，所以十位数只能有3种不同的选法；同理，个位只剩2种不同的选法。
4×3×2＝24（种）
答：可以组成24个不同的三位数。
② 偶数要先定个位上的数，可以选4或8两种选法；十位有3种不同的选法，百位有2种不同的选法。
2×3×2＝12（种）
答：可以组成12个不同的三位偶数。
（3）思考：如果将上题卡片中的四个数变为0、4、7、8，能组成多少个不同的三位数？
想一想：与上题相比，这道题有什么不同？应注意什么？
分析：0不能在最高位。所以百位上只能有4、7、8三种选法，十位可以有3种选法，个位上有2种不同的选法。
3×3×2＝18（种）
答：能组成18个不同的三位数。
二、加法原理。
1、例题：爸爸出差去天津，他可以坐火车也可以坐长途汽车。每天有3趟列车、5趟长途汽车从北京开往天津。爸爸去天津可以有多少种不同的走法？
分析：
爸爸要么乘火车，要么坐长途汽车，都能到天津。火车有3种走法，汽车有5种走法，共有3＋5＝8（种）
2、从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法？
分析：我们把坐火车看成第一类走法，有2种不同的选法；乘飞机是第二类走法，有3种不同的选法；坐轮船为第三类走法，只有1种选法。无论哪一种选法，都可以直接完成这件事。
2＋3＋1＝6（种）
答：从天津到上海共有6种不同的走法。
3、加法原理：完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……第k类方法中有mk种不同的方法。那么完成这件事共有
m1＋m2＋…＋mk种不同的方法。
4、区别：“分步”完成的事用乘法原理；“分类”完成的事用加法原理。
5、解决问题：
（1）学校图书馆有100本不同的童话书、50本不同的科技书、120本不同的连环画，小红想从中借一本书回家，她有多少种不同的选法？
分析：小红选书有三类，要么选童话书（有100种不同的选法），要么选科技书（有50种不同的选法），要么选连环画（有120种不同的选法）。
100＋50＋120＝270（种）
答：她有270种不同的选法。
（2）用天平称物体时要用砝码。现在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称几种不同重量的物体？（砝码放在一个托盘中）
分析：根据砝码的个数不同，可以这样分类：
第一类：用一个砝码。可称1克、2克、4克、8克的物体，共4种。
第二类：用两个砝码。可称（1＋2、1＋4、1＋8、2＋4、2＋8、4＋8）克物体，共6种。
第三类：用三个砝码。可称（1＋2＋4、1＋2＋8、1＋4＋8、2＋4＋8）克物体，共4种。
第四类：用四个砝码。有1种。
4＋6＋4＋1＝15（种）
答：最多能称15种不同重量的物体。
三、综合练习。
学校国旗队共有20名男生和20名女生。
（1）如果从中选出一名男生和一名女生做护旗手，有多少种不同的选法？
（2）如果从中任选一人做升旗手，共有多少种不同的选法？
分析：
（1）完成这件事要分两步：第一步选一名男生；第二步选一名女生。
20×20＝400（种）
答：有400种不同的选法。
（2）完成这件事只需一步，分类来想：选男生或选女生。
20＋20＝40（种）
答：有40种不同的选法。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1、书架上有6种不同的外语书，4本不同的语文书。从中任选取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？
2、甲、乙、丙三人报名参加学校运动会的跳高、跳远、投球和100米跑四项中的一项。请问：报名结果会有多少种不同的情况？
3、学校图书馆的书架上有3种科技书、4种连环画、2种故事书。小明要从中各选一本借回家，有多少种不同的选法？
4、在1——10这十个数中任选两数，使其和大于10，有多少种不同的选法？
5、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。问：最多试开多少次，就能把钥匙和锁配起来？
6、学校乒乓球队有12名男队员和4名女队员，如果从中各选一人，组成一对参加混合双打，有多少种不同的搭配方法？学校获得了团体比赛的第一名，要选一名队员去领奖，有多少种不同的选法？
7、一个口袋内装有3个小球，另一个口袋里装有8个小球，所有小球的颜色都不相同。
（1）从两个口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋中各取一个小球，有多少种不同的取法？
【试题答案】
1、书架上有6种不同的外语书，4本不同的语文书。从中任选取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？
6×4＝24（种）
答：有24种不同的取法。
2、甲、乙、丙三人报名参加学校运动会的跳高、跳远、投球和100米跑四项中的一项。请问：报名结果会有多少种不同的情况？
4×4×4＝64（种）
答：报名结果会有64种不同的情况。
3、学校图书馆的书架上有3种科技书、4种连环画、2种故事书。小明要从中各选一本借回家，有多少种不同的选法？
3×4×2＝24（种）
答：有24种不同的选法。
4、在1——10这十个数中任选两数，使其和大于10，有多少种不同的选法？
分析：分类来想：与10相加和大于10的数有9个，
与9相加和大于10的数有7个，
与8相加和大于10的数有5个，
与7相加和大于10的数有3个，
与6相加和大于10的数有1个。
9＋7＋5＋3＋1＝25（种）
答：有25种不同的选法。
5、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。问：最多试开多少次，就能把钥匙和锁配起来？
分析：第一把钥匙最多试开9次，就能找到相应的锁；第二把钥匙需要试开剩下的9把锁，最多试开8次；依此类推。
9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（次）
答：最多试开45次，就能把钥匙和锁配起来。
6、学校乒乓球队有12名男队员和4名女队员，如果从中各选一人，组成一对参加混合双打，有多少种不同的搭配方法？学校获得了团体比赛的第一名，要选一名队员去领奖，有多少种不同的选法？
12×4＝48（种）
答：有48种搭配方法。
12＋4＝16（种）
答：有16种不同的选法。
7、一个口袋内装有3个小球，另一个口袋里装有8个小球，所有小球的颜色都不相同。
（1）从两个口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋中各取一个小球，有多少种不同的取法？
（1）3＋8＝11（种）
答：从两个口袋中任取一个小球，有11种不同的取法。
（2）3×8＝24（种）
答：从两个口袋中各取一个小球，有24种不同的取法。