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电磁感应考点例析(二)

 

【典型例题】

问题3:电磁感应中的“双杆问题”

电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题,涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。要求学生综合上述知识,认识题目所给的物理情景,找出物理量之间的关系,因此是较难的一类问题,也是近几年高考考察的热点。

下面对“双杆”类问题进行分类例析

1.“双杆”向相反方向做匀速运动

当两杆分别向相反方向运动时,相当于两个电池正向串联。

[5] 两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内,并处于竖直方向的匀强磁场中,磁场的磁感应强度B=0.2T,导轨上面横放着两条金属细杆,构成矩形回路,每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω,回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移,速度大小都是v=5.0m/s,如图所示,不计导轨上的摩擦。

1)求作用于每条金属细杆的拉力的大小。

2)求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。

解析:1)当两金属杆都以速度v匀速滑动时,每条金属杆中产生的感应电动势分别为: E1=E2=Bdv

由闭合电路的欧姆定律,回路中的电流强度大小为:

因拉力与安培力平衡,作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd

由以上各式并代入数据得N

2)设两金属杆之间增加的距离为△L,则两金属杆共产生的热量为,代入数据得  Q=1.28×10-2J

2.“双杆”同向运动,但一杆加速另一杆减速

当两杆分别沿相同方向运动时,相当于两个电池反向串联。

[6] 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒abcd,构成矩形回路,如图所示。两根导体棒的质量皆为m,电阻皆为R,回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时,棒cd静止,棒ab有指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触,求:

1)在运动中产生的焦耳热最多是多少。

2)当ab棒的速度变为初速度的3/4时,cd棒的加速度是多少?

解析:ab棒向cd棒运动时,两棒和导轨构成的回路面积变小,磁通量发生变化,于是产生感应电流。ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动,cd棒则在安培力作用下作加速运动。在ab棒的速度大于cd棒的速度时,回路总有感应电流,ab棒继续减速,cd棒继续加速。两棒速度达到相同后,回路面积保持不变,磁通量不变化,不产生感应电流,两棒以相同的速度v作匀速运动。

1)从初始至两棒达到速度相同的过程中,两棒总动量守恒,有 根据能量守恒,整个过程中产生的总热量 

2)设ab棒的速度变为初速度的3/4时,cd棒的速度为v1,则由动量守恒可知:

此时回路中的感应电动势和感应电流分别为:

此时棒所受的安培力: ,所以*棒的加速度为      

由以上各式,可得      

3. “双杆”中两杆都做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动,另一杆在安培力作用下做加速运动,最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。

[7]2003年全国理综卷)如图所示,两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直,导轨的电阻很小,可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨保持垂直,每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻,两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s,金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2,问此时两金属杆的速度各为多少?

解析:设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x,速度分别为v1v2,经过很短的时间△t,杆甲移动距离v1t,杆乙移动距离v2t,回路面积改变

由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势      

回路中的电流   

杆甲的运动方程  

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等,方向相反,所以两杆的动量时为0)等于外力F的冲量  

联立以上各式解得 

 代入数据得

点评:题中感应电动势的计算也可以直接利用导体切割磁感线时产生的感应电动势公式和右手定则求解:设甲、乙速度分别为v1v2,两杆切割磁感线产生的感应电动势分别为 E1Blv1 E2Blv2   由右手定则知两电动势方向相反,故总电动势为EE2E1Blv2v1)。

分析甲、乙两杆的运动,还可以求出甲、乙两杆的最大速度差:开始时,金属杆甲在恒力F作用下做加速运动,回路中产生感应电流,金属杆乙在安培力作用下也将做加速运动,但此时甲的加速度肯定大于乙的加速度,因此甲、乙的速度差将增大。根据法拉第电磁感应定律,感应电流将增大,同时甲、乙两杆所受安培力增大,导致乙的加速度增大,甲的加速度减小。但只要a>a,甲、乙的速度差就会继续增大,所以当甲、乙两杆的加速度相等时,速度差最大。此后,甲、乙两杆做加速度相等的匀加速直线运动。

设金属杆甲、乙的共同加速度为a,回路中感应电流最大值Im。对系统和乙杆分别应用牛顿第二定律有:F=2maBLIm=ma

由闭合电路欧姆定律有E=2ImR,而     

由以上各式可解得

4.“双杆”在不等宽导轨上同向运动。

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时,两杆所受的安培力不等大反向,所以不能利用动量守恒定律解题。

[8]2004年全国理综卷)图中a1b1c1d1a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨,处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨所在平面(纸面)向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的,距离为l1c1d1段与c2d2段也是竖直的,距离为l2x1   y1x2   y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆,质量分别为m1m2,它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为RF为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时,已匀速向上运动,求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

解析:设杆向上的速度为v,因杆的运动,两杆与导轨构成的回路的面积减少,从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势的大小            

回路中的电流 

电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用,作用于杆x1y1的安培力为

     

方向向上,作用于杆x2y2的安培力为     

方向向下,当杆作匀速运动时,根据牛顿第二定律有  

解以上各式得          

    

作用于两杆的重力的功率的大小    

电阻上的热功率  

由⑥⑦⑧⑨式,可得

        

    

 

问题4:电磁感应中的一个重要推论——安培力的冲量公式

感应电流通过直导线时,直导线在磁场中要受到安培力的作用,当导线与磁场垂直时,安培力的大小为F=BLI。在时间△t内安培力的冲量,式中q是通过导体截面的电量。利用该公式解答问题十分简便,下面举例说明这一点。

[9] 如图所示,在光滑的水平面上,有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内,有一个边长为aa<L)的正方形闭合线圈以初速v0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为vv<v0)那么(   

A. 完全进入磁场中时线圈的速度大于(v0+v/2

B. 安全进入磁场中时线圈的速度等于(v0+v/2

C. 完全进入磁场中时线圈的速度小于(v0+v/2

D. 以上情况AB均有可能,而C是不可能的

解析:设线圈完全进入磁场中时的速度为vx。线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。对于线圈进入磁场的过程,据动量定理可得:

对于线圈穿出磁场的过程,据动量定理可得:

由上述二式可得,即B选项正确。

 

[10] 光滑U型金属框架宽为L,足够长,其上放一质量为m的金属棒ab,左端连接有一电容为C的电容器,现给棒一个初速v0,使棒始终垂直框架并沿框架运动,如图所示。求导体棒的最终速度。

解析:当金属棒ab做切割磁力线运动时,要产生感应电动势,这样,电容器C将被充电,ab棒中有充电电流存在,ab棒受到安培力的作用而减速,当ab棒以稳定速度v匀速运动时,有:BLv=UC=q/C

而对导体棒ab利用动量定理可得:-BLq=mvmv0

由上述二式可求得:

 

问题5:电磁感应中电流方向问题

[11]06广东物理卷) 如图所示,用一根长为L质量不计的细杆与一个上弧长为,下弧长为的金属线框的中点联结并悬挂于O点,悬点正下方存在一个上弧长为、下弧长为的方向垂直纸面向里的匀强磁场,且<<先将线框拉开到如图所示位置,松手后让线框进入磁场,忽略空气阻力和摩擦。下列说法正确的是(   

A. 金属线框进入磁场时感应电流的方向为:abcda

B. 金属线框离开磁场时感应电流的方向为:adcba

C. 金属线框dc边进入磁场与ab边离开磁场的速度大小总是相等

D. 金属线框最终将在磁场内做简谐运动

分析:金属线框进入磁场时,由于电磁感应,产生电流,根据楞次定律判断电流的方向为:adcba。金属线框离开磁场时由于电磁感应,产生电流,根据楞次定律判断电流的方向为 abcda 。根据能量转化和守恒,可知,金属线框dc边进入磁场与ab边离开磁场的速度大小不相等。如此往复摆动,最终金属线框在匀强磁场内摆动,由于<<,单摆做简谐运动的条件是摆角小于等于10度,故最终在磁场内做简谐运动。答案为D

小结:本题考查了感应电动势的产生条件,感应电流方向的判定,物体做简谐运动的条件,这些是高中学生必须掌握的基础知识。感应电动势产生的条件只要穿过回路的磁通量发生变化,回路中就产生感应电动势,若电路闭合则有感应电流产生。因此弄清引起磁通量的变化因素是关键,感应电流的方向判定可用楞次定律与右手定则,在应用楞次定律时要把握好步骤:先明确回路中原磁场的方向及磁通量的变化情况,再依楞次定律确定感应电流的磁场方向,然后根据安培定则确定感应电流的方向。线圈在运动过程中的能量分析及线框最终的运动状态的确定为此题增大了难度。

练习:[06四川卷] 如图所示,接有灯泡L的平行金属导轨水平放置在匀强磁场中,一导体杆与两导轨良好接触并做往复运动,其运动情况与弹簧振子做简谐运动的情况相同。图中O位置对应于弹簧振子的平衡位置,PQ两位置对应于弹簧振子的最大位移处。若两导轨的电阻不计,则(   

A. 杆由OP的过程中,电路中电流变大

B. 杆由PQ的过程中,电路中电流一直变大

C. 杆通过O处时,电路中电流方向将发生改变

D. 杆通过O处时,电路中电流最大

解答:D

 

问题6:电磁感应中的多级感应问题

[12] 如图所示,abcd金属棒均处于匀强磁场中,cd 原静止,当ab向右运动时,cd如何运动(导体电阻不计)(   

A. ab向右匀速运动,cd静止;      

B. ab向右匀加速运动,cd向右运动;

C. ab向右匀减速运动,cd向左运动

分析:这是多级电磁感应问题,ab相当于一个电源,右线圈相当于负载;左线圈相当于电源,cd相当于负载。ab运动为因,切割磁感线产生感应电流为果,电流流过右线圈为因,右线圈中形成磁场为果,右线圈磁场的磁感线通过左线圈,磁场变化时为因,左线圈中产生感应电流为果,感应电流流过cd为因,cd在左磁场中受安培力作用而运动为果。故ABC均正确。

小结:分析电磁感应现象中的多级感应问题,要正确处理好因果关系,步步为营,紧扣闭合回路及回路中的磁通量的变化这一关键,对于线圈问题还应注意线圈的绕向。

练习:在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨,导轨跟大线圈相接,如图所示。导轨上放一根导线ab,磁力线垂直于导轨所在平面。欲使所包围的小闭合线圈产生顺时针方向的感应电流,则导线的运动可能是(   

A. 向右运动         B. 加速向右运动

C. 减速向右运动     D. 加速向左运动

分析:此题可用逆向思维的方法分析。欲使N产生顺时针方向的感应电流,感应电流在中的磁场方向垂直纸面向里,由楞次定律可知,有两种情况:一是中有顺时针方向的逐渐减小的电流,其在中的磁场方向亦向里,且磁通量在减小;二是中有逆时针方向的逐渐增大的电流,其在中的磁场方向为向外,且磁通量在增大,对于前者,应使ab减速向右运动;对于后者,应使ab加速向左运动,故CD正确。

 

问题7:电磁感应中的动力学问题

[13]2005年上海)如图所示,处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m,导轨平面与水平面成θ=370角,下端连接阻值为R的电阻。匀强磁场的方向与导轨平面垂直。质量为0.2kg、电阻不计的导体棒放在两导轨上,棒与导轨垂直并且接触良好,它们间的动摩擦因数为0.25

1)金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小。

2)当金属棒下滑速度达到稳定时,电阻R消耗的功率为8W,求该速度的大小。

3)在上问中,若R=2Ω,金属棒中电流方向由ab,求磁感应强度的大小与方向。(g=10m/s2sin370=0.6cos370=0.8

分析:

1)金属棒开始下滑时初速度为零,根据牛顿第二定律有:

代入数据得:

2)设金属棒达到稳定时,速度为v,所受安培力为F,棒在沿导轨方向受力平衡,则

此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率

V=

3)设电路中电流强度为I,两导轨间金属棒的长度为L,磁场的感应强度为B,则I=P=I2R由以上两式得   B=  

磁场的方向垂直导轨平面向上。

小结:此题为电磁感应知识与力学、电路知识的综合问题,此类题目常以导轨运动为背景,解决此类题的关键是对金属导体作出正确的受力分析,并通过运动状态的动态分析来寻找过程的临界状态,得出速度、加速度的极值条件,找到解题的突破口,然后综合运用力学及电学规律分析和解决实际问题。

练习:(06重庆卷)两根相距为L的足够长的金属直角导轨如题下图所示放置,它们各有一边在同一水平面内,另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆abcd与导轨垂直接触形成闭合回路,杆与导轨之间的动摩擦因数为μ,导轨电阻不计,回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B,方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度V1沿导轨匀速运动时,cd杆也正好以速率向下V2匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是(   

A. ab杆所受拉力F的大小为μmg

B. cd杆所受摩擦力为零 

C. 回路中的电流强度为

D. μV1大小的关系为μ

答案:AD

 

问题8:电磁感应中的电路问题

[14] 如图所示,在磁感强度为的匀强磁场中有一半径为的金属圆环。已知构成圆环的电线电阻为,以O为轴可以在圆环上滑动的金属棒电阻为,电阻。如果棒以某一角速度匀速转动时,电阻的电功率最小值为,那么棒匀速转动的角速度应该多大?(其它电阻不计)

      

分析:棒的感应电动势e=BL2w/2,等效电路如图所示,当端处于圆环最上端时,即时,圆环的等效电阻最大,其值

干路中的最小电流

电阻R1的最小功率P0=

小结:电磁感应现象常与恒定电路相结合构建综合题,分析此类问题时一般遵循“三步曲”即:用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向,找准等效电源;正确画好等效电路,区分内、外电路,路端电压与电动势;灵活运用闭合电路欧姆定律,串、并联电路的性质及电功、电功率、电热等计算公式求解相关物理量。

 

【模拟试题】

1. 一飞机在北半球的上空以速度v水平飞行,飞机机身长为a,翼展为b;该空间地磁场磁感应强度的水平分量为B1,竖直分量为B2;驾驶员左侧机翼的端点用A表示,右侧机翼的端点用B表示,用E表示飞机产生的感应电动势,则(   

A. E=B1vb,且A点电势低于B点电势   B. E=B1vb,且A点电势高于B点电势

C. E=B2vb,且A点电势低于B点电势   D. E=B2vb,且A点电势高于B点电势

2. 图中两条平行虚线之间存在匀强磁场,虚线间的距离为l,磁场方向垂直纸面向里

abcd是位于纸面内的梯形线圈,adbc间的距离也为lt=0时刻,bc边与磁场区域边界重合(如图)现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域,取沿abcda的感应电流为正,则在线圈穿越磁场区域的过程中,感应电流I随时间t变化的图线可能是(   

     

3. 铁路上使用一种电磁装置向控制中心传输信号以确定火车的位置。能产生匀强磁场的磁铁,被安装在火车首节车厢下面,如图(甲)所示(俯视图)。当它经过安放在两铁轨间的线圈时,便会产生一电信号,被控制中心接收。当火车通过线圈时,若控制中心接收到的线圈两端的电压信号为图(乙)所示,则说明火车在做(   

A. 匀速直线运动       B. 匀加速直线运动

C. 匀减速直线运动     D. 加速度逐渐增大的变加速直线运动

4. 如图所示,将一个正方形导线框ABCD置于一个范围足够大的匀强磁场中,磁场方向与其平面垂直。现在ABCD的中点处连接一个电容器,其上、下极板分别为ab,让匀强磁场以某一速度水平向右匀速移动,则(   

A. ABCD回路中没有感应电流

B. ADBC间有电势差

C. 电容器ab两极板分别带上负电和正电

D. 电容器ab两极板分别带上正电和负电

5. 如图所示,两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面,导轨上横放着两根相同的导体棒abcd与导轨构成矩形回路。导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧,两棒的中间用细线绑住,它们的电阻均为R,回路上其余部分的电阻不计。在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场。开始时,导体棒处于静止状态。剪断细线后,导体棒在运动过程中(   

A. 回路中有感应电动势

B. 两根导体棒所受安培力的方向相同

C. 两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒,机械能守恒

D. 两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒,机械能不守恒

6. 如图所示,一个边长为a、电阻为R的等边三角形线框,在外力作用下,以速度v匀速穿过宽均为a的两个匀强磁场,这两个磁场的磁感应强度大小均为B方向相反,线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直,取逆时针方向的电流为正。若从图示位置开始,线框中产生的感应电流I与沿运动方向的位移x之间的函数图象,下面四个图中正确的是(   

7. 图中MNPQ为竖直方向的两平行长直金属导轨,间距l0.40m,电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度B0.50T的匀强磁场垂直。质量m6.0×103kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨,并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1。当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑,整个电路消耗的电功率P0.27W,重力加速度取10m/s2,试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2

8. 如图所示,一半径为r的圆形导线框内有一匀强磁场,磁场方向垂直于导线框所在平面,导线框的左端通过导线接一对水平放置的平行金属板,两板间的距离为d,板长为lt=0时,磁场的磁感应强度BB0开始均匀增大,同时,在板2的左端且非常靠近板2的位置有一质量为m、带电量为-q的液滴以初速度v0水平向右射入两板间,该液滴可视为质点。

1)要使该液滴能从两板间射出,磁感应强度随时间的变化率K应满足什么条件?

2 要使该液滴能从两板间右端的中点射出,磁感应强度B与时间t应满足什么关系?

9. 如图甲,平行导轨MNPQ水平放置,电阻不计。两导轨间距d=10cm,导体棒abcd放在导轨上,并与导轨垂直,每根棒在导轨间的部分,电阻均为R=1.0Ω。用长为L=20cm的绝缘丝线将两棒系住。整个装置处在匀强磁场中。t=0的时刻,磁场方向竖直向下,丝线刚好处于未被拉伸的自然状态。此后,磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示。不计感应电流磁场的影响。整个过程丝线未被拉断。求:

10~2.0s的时间内,电路中感应电流的大小与方向;

2t=1.0s的时刻丝线的拉力大小。

10. 如图所示导体棒ab质量为100g,用绝缘细线悬挂后,恰好与宽度为50cm的光滑水平导轨良好接触。导轨上放有质量为200g的另一导体棒cd,整个装置处于竖直向上的磁感强度B=0.2T的匀强磁场中,现将ab棒拉起0.8m高后无初速释放。当ab第一次摆到最低点与导轨瞬间接触后还能向左摆到0.45m高处,求:

1cd棒获得的速度大小;

2)瞬间通过ab棒的电量;

3)此过程中回路产生的焦耳热。

 

 

 


【试题答案】

1. D   2. B    3. B    4. ABC    5. AD    6. B    7. 4.5m/s6.0Ω 

8.1

2

9.11.0×103A,顺时针     21.0×105N

10.10.5m/s     21C    30.325J

 

 

 

 

 

 

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